「増減表のプラスマイナスがどっちになるか、いつも自信がなくて不安だな…」と感じていませんか。
「もっと楽に符号を決められる裏技があればいいのに…」と悩んでしまう方もいるでしょう。
関数の増減を調べる上で、符号の判断はとても大切なポイントです。
実は、符号の判断にはいくつかの簡単なコツが存在します。
この機会にポイントをしっかり押さえて、増減表への苦手意識を克服しましょう。
この記事では、増減表の符号の決め方で悩んでいる方に向けて、
– 増減表のプラスマイナスを判断する基本的な考え方
– 具体的な値を代入して符号を簡単に見分ける方法
– グラフの形をイメージして素早く判断する裏技的なコツ
上記について、解説しています。
符号の決め方を一度マスターしてしまえば、計算ミスが減り、テストでの得点アップにも繋がるはず。
分かりやすく丁寧に説明していくので、ぜひ参考にしてください。
増減表の基本とプラスマイナスの理解
増減表のプラスマイナスは、関数のグラフがどの区間で増加し、どの区間で減少するのかを示す、とても大切な目印です。
一見複雑に見えるかもしれませんが、この符号の意味を正しく理解するだけで、グラフの概形を驚くほど簡単につかめるようになります。
符号の付け方に自信がないという方も、基本さえ押さえれば決して難しいものではありません。
なぜ導関数 f'(x) の符号が元の関数 f(x) の増減を示すのか、不思議に思う方もいるでしょう。
その理由は、導関数がグラフの各点における「接線の傾き」を表しているからです。
グラフが右肩上がりのとき、接線の傾きはプラスになります。
逆に、グラフが右肩下がりのときは、接線の傾きはマイナスになるのです。
つまり、導関数のプラスマイナスを調べることは、グラフが上り坂なのか下り坂なのかを調べているのと同じことだと言えます。
具体的には、関数 f(x) = x² – 4x を例に見てみましょう。
まず、この関数を微分すると導関数 f'(x) = 2x – 4 が得られます。
f'(x) = 0 となるのは x = 2 のときです。
x < 2 の区間、例えば x = 1 を f'(x) に代入すると f'(1) = -2 となり、符号はマイナス。
したがって、この区間で元の関数 f(x) は減少します。
一方、x > 2 の区間、例えば x = 3 を代入すると f'(3) = 2 となり、符号はプラス。
この区間では f(x) が増加することがわかる仕組みです。
増減表とは何か？その基本を解説
増減表とは、ある関数の値が増加する区間と減少する区間を視覚的にまとめた便利な表を指します。
いわば、複雑な関数のグラフを描くための「設計図」のようなものでしょう。
この表を作成する上で鍵となるのが、高校数学Ⅱで学ぶ「微分」の考え方なのです。
まず、元の関数f(x)を微分して導関数f'(x)を求めます。
このf'(x)の値がプラスになる区間では、元の関数f(x)は増加し、グラフは右肩上がり（↗）になります。
逆にf'(x)の値がマイナスになる区間では、関数は減少し、グラフは右肩下がり（↘）になるという仕組みです。
増減表は通常、「x」「f'(x)」「f(x)」の3段で構成され、f'(x) = 0となるxの値を基準に、各区間の符号と関数の増減を書き込んでいきます。
これによって、関数の極大値や極小値も一目でわかるようになり、正確なグラフ作成に不可欠なツールと言えるでしょう。
プラスマイナスの符号を見分ける方法
増減表におけるプラスとマイナスの符号は、導関数 f'(x) が正か負かを示しています。
この符号によって、元の関数 f(x) が増加しているのか、それとも減少しているのかがわかるのです。
符号を見分ける最も確実な方法は、f'(x)=0となるxの値の前後から具体的な数値をf'(x)に代入することになります。
例えば、導関数がf'(x) = 3(x+2)(x-1)だとしましょう。
このとき、f'(x)=0となるのはx=-2とx=1の地点です。
そこで、x<-2の範囲から-3を、-2
実は、f'(x)が下に凸の放物線であると知っていれば、グラフを思い浮かべるだけで計算せずとも符号を判断できる裏技も有効です。
複雑な関数の増減と符号の見分け方
分数関数や三角関数など、複雑な式が登場すると増減表の符号判断は一気に難しくなりますよね。
しかし、微分した関数（導関数）のグラフを大まかにイメージしたり、区間内の具体的な数値を代入したりすることで、符号は簡単に見分けられるようになります。
このコツさえ掴めば、どんなに複雑な関数が出てきても冷静に対処できるでしょう。
なぜなら、数式をただ眺めているだけでは、どの範囲でプラスになり、どこでマイナスになるのかを直感的に理解するのは困難だからです。
人間の脳は数式よりもグラフのような視覚的な情報の方が処理しやすいため、グラフの概形を思い描くことが符号を理解する近道になります。
また、具体的な値を代入する作業は、自分の推測が正しいかを確かめるための確実な方法でした。
具体的には、f'(x) = (x-2)e^x のような関数を考えてみましょう。
指数関数 e^x の部分は常に正の値を取るため、符号の変化には影響を与えません。
つまり、符号を決めているのは (x-2) の部分だけなのです。
したがって、x > 2 の範囲ではプラス、x < 2 の範囲ではマイナスになることが瞬時に判断できます。
このように関数の特徴を部分的に捉えることで、複雑そうな式でも符号の判断は格段に楽になります。
複雑な関数の増減表の書き方
分数関数や指数・対数関数のような複雑な式が出てきても、増減表を作る基本的な手順に変わりはありません。
まずは与えられた関数 f(x) を微分し、導関数 f'(x) を求めるところから始めます。
数学Ⅲで登場する商の微分法や積の微分法などを、計算ミスなく正確に使いこなすことが肝心となるでしょう。
次に、導関数が f'(x) = 0 となる x の値と、f'(x) が定義されない x の値（例えば、分数関数の分母が0になる点など）を探し出します。
これらが関数の増減が切り替わる可能性のある重要な点になるわけです。
これらの値を基準に数直線を区切り、それぞれの区間で f'(x) の符号がプラスになるかマイナスになるかを調べてください。
区間内の具体的な数値、例えば x=0 などを代入して確認するのが最も確実な方法といえます。
符号が判明すれば、元の関数 f(x) の増減を矢印（↗︎や↘︎）で示し、増減表を完成させます。
極大・極小の見つけ方とその応用
増減表におけるf'(x)の符号変化は、関数のグラフの山と谷、つまり極大値と極小値を見つけ出すための重要な手がかりです。
導関数の符号がプラスからマイナスに変わる点こそ、グラフが山の頂点を迎える「極大」となるところ。
逆に、マイナスからプラスへ転じる箇所は、グラフが谷の底を形成する「極小」になるのです。
この極値を見つける手順は極めてシンプル。
まず、f'(x)=0となるxの値を求めましょう。
次に、そのxの値の前後で符号がどのように変化するかを調べます。
このプラスマイナスの変化を読み取ることが、極値を見抜くためのいわば裏技的なコツと言えるかもしれません。
例えば、関数の最大値・最小値を求める問題では、この極値の考え方が直接役立ちます。
定義域の両端における関数の値と、定義域内に存在する極値を比較するだけで、最大値と最小値を簡単に特定できる場合が多いのです。
増減表の実践的な活用法
増減表は、関数のグラフの概形を描くだけでなく、最大値・最小値を求めたり、方程式の解の個数を調べたりする際に絶大な効果を発揮するツールです。
テストで高得点を狙うためには、この実践的な活用法をマスターすることが不可欠でしょう。
なぜなら、増減表によって関数の値が増加する区間と減少する区間が一目でわかるからです。
この情報の可視化は、複雑な応用問題を解く上で強力な武器となります。
計算ミスを減らし、解答への道筋を論理的に立てやすくなるため、特に難易度の高い問題でその真価を実感できるでしょう。
例えば、商品の利益を最大化する生産量を求める経済の問題や、物体の移動距離が最大になる時間を探る物理の問題など、数学の枠を超えた分野でも応用されています。
具体的には、関数 f(x) = x³ – 6x² + 5 の区間 [1, 5] における最大値・最小値を求める場合を考えてみましょう。
増減表を作成すれば、極小値が x = 4 のときに -27 となることがわかり、区間の端点 f(1)=0, f(5)=-20 と比較して、最大値と最小値を正確かつ迅速に特定できます。
練習問題で増減表の理解を深める
理論を学んだら、実際に手を動かして理解を定着させましょう。
ここでは、代表的な3次関数 `f(x) = x³ – 6x² + 5` を例に、増減表の作成手順を追っていきます。
まず、関数を微分すると `f'(x) = 3x² – 12x` となります。
次に、`f'(x) = 0` となるxの値を求めましょう。
`3x(x – 4) = 0` より、`x = 0, 4` が導けるのです。
この値が増減の切り替わるポイントになります。
`x < 0` の区間（例えば x = -1）では `f'(-1) = 15 > 0` でプラス、`0 < x < 4` の区間（例えば x = 1）では `f'(1) = -9 < 0` でマイナス、`x > 4` の区間（例えば x = 5）では `f'(5) = 15 > 0` で再びプラスに転じます。
この符号の変動から、`x = 0` で極大値 `f(0) = 5` を、`x = 4` で極小値 `f(4) = -27` を取ることがわかります。
受験に役立つ増減表の裏技
大学受験のように1分1秒を争う場面では、増減表のプラスマイナスを素早く判断する裏技が効果を発揮します。
導関数f'(x)の符号を調べるとき、多くは区間内の具体的な数値を代入しますが、その選び方にコツがあるのです。
計算が簡単なx=0やx=1が使える区間から確かめるのがセオリーでしょう。
特に知っておくと強力なのが、3次関数の性質を利用したテクニック。
例えば、f(x)=x^3-3x^2+…のような関数の導関数f'(x)は下に凸の2次関数になります。
f'(x)=0が異なる2つの実数解α, β (α<β)を持つ場合、f'(x)の符号は必ず「＋,－,＋」の順に変化する。
この法則を覚えておけば、面倒な代入計算をせずとも一瞬で符号がわかるのです。
また、f'(x)が(x-a)^2のような因数を持つ場合、x=aの前後で符号は変化しない点も重要な時短ポイント。
共通テストのように時間制限が厳しい試験では、この知識が大きなアドバンテージとなるでしょう。
よくある質問とその答え
増減表のプラスマイナス判定でよくある疑問や悩みには、明確な解決策があります。
「f'(x)が複雑な式になった途端、符号がわからなくなる」「値を代入する計算が面倒で時間がかかる」といったつまずきやすいポイントも、考え方のコツを知ればスムーズに乗り越えられるでしょう。
多くの人が同じような疑問を抱く理由は、基本となる「値を代入する方法」だけでは、応用問題に対応するのが難しくなるからです。
特に、分数関数や指数関数、三角関数などが含まれるようになると、どの値を代入すれば安全か判断に迷ってしまうことが少なくありません。
しかし、それぞれの関数の特性を理解していれば、もっと楽に符号を判断できるのです。
具体的には、「f'(x) = eˣ(x²-1)」のような式を考えてみましょう。
この式では、eˣの部分は常に正の値を取ります。
そのため、f'(x)全体の符号は、残りの(x²-1)の部分の符号と完全に一致するのです。
このように、常に正（または負）になる部分を見抜くことで、考えるべき式を単純化するのが賢い裏技と言えます。
増減表の符号に関するよくある疑問
増減表の符号判定で最も多い疑問は、「なぜ導関数f'(x)の符号を調べるのか」という点でしょう。
f'(x)の値は、元の関数f(x)のグラフ上にある各点の「接線の傾き」を示しています。
つまり、f'(x) > 0 ならば接線の傾きが正でグラフは増加（右上がり）し、f'(x) < 0 ならば傾きが負でグラフは減少（右下がり）するのです。
この関係性が符号を判断する上での大原則となります。
次に、「どうやって符号を判断すればよいか」という疑問については、f'(x) = 0 となるxの値で区切られた各区間から、計算しやすい代表的な値を一つ代入する方法が最も確実です。
例えば、f'(x) = (x-2)(x-4) であれば、x=0やx=3などを代入してみることで、各区間の符号は簡単に判明します。
この「代表値を代入する」という一手間が、符号ミスを防ぐ確実な手段になるはずです。
関数の増減に関する一般的な質問
関数の増減を考える際、「なぜ導関数 f'(x) の符号を調べるだけで元の関数 f(x) の増減がわかるのか？」という疑問を持つ人は少なくありません。
導関数は、グラフのある点における接線の傾きを示しており、傾きがプラスなら関数は増加、マイナスであれば減少することを意味するのです。
また、「f'(x)=0となる点は必ず極値になるのか」という質問もよく寄せられます。
これは間違いで、例えば関数 y=x³ では x=0 のとき f'(0)=0 となりますが、この点の前後で f'(x) の符号はプラスからプラスへと変化しないため、極値にはなりません。
f'(x)=0 であっても、その前後で符号が変わる場合にのみ極値をとると覚えておきましょう。
分数関数や無理関数のように定義域に注意が必要な場合、増減表には定義されない点も書き入れると、グラフの概形をより正確に把握できます。
まとめ：増減表の符号で悩むのは今日で終わりにしよう
今回は、増減表の符号がプラスになるのかマイナスになるのか分からず、お困りの方に向けて、- 増減表の基本的な考え方- 符号を判断するための具体的な手順- 複雑な関数でも応用できる見分け方のコツ上記について、解説してきました。
増減表のプラスマイナスは、難しく考えすぎずにf'(x)へ具体的な値を代入してみるのが一番の近道です。
なぜなら、複雑な計算をするよりも、簡単な数字で確かめる方が直感的で分かりやすく、計算ミスも減らせるからでした。
符号の判断でつまずいてしまい、もどかしい気持ちになっていた方もいるでしょう。
この記事で紹介した方法を参考に、まずは簡単な問題からで構いません。
実際に手を動かして、符号を判断する練習を始めてみましょう。
これまで増減表と向き合い、何度も挑戦してきたその時間は、決して無駄にはなりません。
その試行錯誤こそが、理解を深めるための大切な過程なのです。
符号をスムーズに判断できるようになれば、グラフの概形を正確に描けるようになります。
関数の性質を深く理解できるだけでなく、問題を解くスピードも格段に上がるでしょう。
今日学んだコツを武器にして、自信を持って問題に取り組んでください。
増減表を完全にマスターし、数学の面白さをさらに感じられるようになる日を、筆者は心から応援しています。